Футбольный менеджер. Олимпиада Колокольникова 1 тур 2025 (7 класс)
Тренер ФК «Тюмень» собирает футбольную команду, чтобы выиграть чемпионат России. Он покупает игроков на три линии: нападение , полузащита , защита . Всего у тренера есть миллиард рублей. Поскольку тренер очень умен, он смог высчитать зависимость числа забитых мячей от уровня игры нападения, полузащиты и защиты:
.
Также он вычислил зависимость числа пропущенных мячей от этих показателей:
.
Тренер планирует покупать игроков из других футбольных клубов России. Один форвард стоит млн. рублей (он увеличивает параметр на ), один полузащитник – млн. рублей (он увеличивает параметр на ), один защитник стоит млн. рублей (он увеличивает параметр на ). Количество футболистов может быть только целым.
а) ( балла) Определите, как тренеру распределить деньги, чтобы максимизировать разницу между числом забитых и пропущенных мячей.
Фактически функция полезности тренера . Рассмотрим значение величины ( – величина, на которую увеличивается полезность при покупке игрока) для нападающих, полузащитников и защитников. (Данная величина показывает, какую прибавку к полезности будет приносить миллион, потраченный на игрока. Таким образом, тренер будет покупать игрока той позиции, для которой данное значение наибольшее). Для нападающего: . Для полузащитника: . Для защитника: . Таким образом, тренеру будет выгодно покупать защитников для максимизации своей функции полезности. За млрд. рублей тренер сможет купить защитников.
Ответ: .
б) ( балла) Размышляя над покупкой игроков согласно распределению из пункта a), тренер ФК «Тюмень» выяснил, что у него окажется меньше футболистов. Поняв свою ошибку, он решил пересмотреть свои планы и обратил внимание на рынок африканских футболистов. Один африканский футболист стоит и усиливает свою линию на (два африканских футболиста усилят свою линию на и так далее...). Определите, каких футболистов теперь собирается купить тренер, если курс доллара равен руб. При решении этого и следующего пунктов считайте, что в команде должно быть не менее футболистов, но может быть и больше. Если в команде больше игроков, то они по-прежнему улучшают показатели своих линий, так как являются запасными, которые позволяют отдыхать основным игрокам и тем самым повышают общую эффективность.
Найдем цену африканского игрока в рублях. млн. рублей. . Так как покупка одного африканского защитника увеличивает полезность на , а покупка африканского полузащитника или нападающего увеличивает полезность на , то их цена одинакова, покупать африканских нападающих и полузащитников не имеет смысла. Теперь определим, что лучше: покупать африканского защитника или российского. Для этого найдем значение для африканского защитника. . Видим, что покупать российского защитника выгоднее, чем африканского, но так как тренеру требуется набрать больше игроков, ему необходимо отказаться от одного российского защитника и купить африканских защитников.
в) ( баллов) Мысленно собрав новую команду, тренер ФК «Тюмень» снова нашел ошибку. Теперь его команда не сбалансирована. Подумав немного, он решил, что для лучшего результата ему нужны как минимум защитника, полузащитника и нападающий, а также вратарь, которого он смог «подписать» у ФК «Оренбург» за млн. рублей. Определите, сколько футболистов купит тренер на каждую линию.
Найдем величину для нападающих и полузащитников из Африки.
. Наиболее выгодно покупать российского защитника, на втором месте по выгоде покупка российского полузащитника, на третьем месте покупка африканского защитника. Наименее выгодно покупать африканских полузащитников и нападающих, а также российского нападающего. Начнем выбирать состав команды: так как для состава необходим нападающий, то выберем африканского нападающего, так как выгода от его покупки такая же, как и при покупке российского нападающего, однако при этом освобождаются деньги для покупки более выгодных игроков. Покупка защитников более выгодна, чем покупка полузащитников, поэтому полузащитников в составе будет только трое.
Рассмотрим варианты покупки полузащитников:
Заметим, что при покупке трех российских полузащитников, они принесут прибавку к полезности , при этом мы потратим млн. рублей.
При покупке двух российских полузащитников и одного африканского полузащитника мы получим прибавку к полезности , потратив при этом млн рублей. При этом, по сравнению с первым случаем мы сможем купить одного российского защитника, что увеличит нашу полезность еще на единиц.
При покупке одного российского полузащитника и двух африканских полузащитников прибавка к полезности составит , потратив при этом млн. рублей. Так, по сравнению с первым случаем, у нас освободится бюджет для покупки двух российских и трех африканских защитников, что позволит увеличить нашу полезность еще на .
При покупке трех африканских полузащитников мы получим прибавку к полезности , потратив при этом млн. рублей. По сравнению с первым случаем мы сможем купить еще трех российских и четырех африканских защитников, что увеличит нашу полезность на .
Видим, что наиболее выгодно покупать трех африканских полузащитников. При этом у нас остается (покупка вратаря) (покупка полузащитников) (покупка нападающего) млн. рублей. На них мы купим российских защитников, потратив млн. рублей, так как это наиболее выгодные для покупки футболисты, а на оставшиеся млн. купим трех африканских защитников.
Ответ: вратарь, африканских защитника, российских защитников, африканских полузащитника и африканский нападающий.