Как построить стадион
По случаю Чемпионата мира 2018 года футбольный клуб «Забивака» решил построить новый стадион вместо того, на котором он играет сейчас. Спрос на посещение матчей предъявляют две группы болельщиков –– фанаты клуба и просто ценители красивой игры. Фанаты предъявляют спрос при любой игре команды; их функция спроса имеет вид , где –– цена абонемента на посещение матчей в течение сезона, –– количество купленных абонементов. Ценители красивой игры предъявляют спрос на абонементы, только если клуб играл красиво в предыдущем сезоне. Красота игры определяется случайными факторами; вероятность красивой игры равна 1/2. Функция спроса второй группы имеет вид .Издержки на строительство стадиона вместимости x равны . Клуб принимает решение о вместимости стадиона и тратит деньги на его строительство в начале периода (в будущем достраивать стадион нельзя), а получает выручку от продажи билетов в начале каждого периода (до бесконечности). Клуб максимизирует ожидаемую приведенную стоимость денежного потока, то есть величину
где –– выручка от продажи абонементов только фанатам, –– выручка от продажи билетов как фанатам, так и ценителям красивой игры. Множители 0,5 присутствуют в силу того, что каждый из двух случаев реализуется с вероятностью 1/2. Ставка процента r равна 10 %. Клуб принимает решение о ценах в начале каждого периода, когда уже известно, будут предъявлять спрос ценители красивой игры или нет.
а) (15 баллов) Предположим, что фанаты любят смотреть матч только из-за ворот, а ценители красивой игры –– только с центральной трибуны. Клуб может построить каждую трибуну любой вместимости, а потом назначать разные цены на билеты на разные трибуны. Определите оптимальные цены на билеты абонементов на разные трибуны (на центральную трибуну –– только для случая, когда на нее есть спрос) и оптимальную вместимость каждой трибуны.
б) (15 баллов) Предположим, что клуб решает ту же задачу при условии, что любому зрителю безразлично, откуда смотреть матч, и поэтому проводить ценовую дискриминацию между фанатами и остальными болельщиками не получится. Клуб назначает единую цену для всех мест на стадионе. Найдите оптимальную цену абонемента (в зависимости от того, предъявляет спрос вторая группа или нет), и оптимальную вместимость стадиона.
а) Обозначим за вместимость трибуны за воротами, — центральной трибуны, . Когда стадион уже построен, фирма при установлении цен будет воспринимать и как данные. При установке цен фирма просто будет максимизировать или в зависимости от того, какой из случаев реализовался, при ограничении, что количество проданных абонементов не может быть больше, чем вместимость соответствующей трибуны.
Независимо от того, предъявляет ли спрос вторая группа, для фанатов фирма будет решать задачу при условии .Ее решением является при и в противном случае.
Для ценителей красивой игры (если они присутствуют) задача аналогична: при условии . Ее решением является при и в противном случае.
В периоде 0 фирма будет выбирать и , осознавая, что в будущем она будет выбирать объемы, найденные выше. Заметим, что выбирать или не может быть выгодно, так как дополнительных денег от продажи билетов это не принесет, а предельные издержки постройки дополнительных мест положительны. Поэтому при поиске оптимальных мы можем ограничиться рассмотрением и . Тогда ожидаемая приведенная стоимость будет равна
(Мы смогли воспользоваться формулой, данной на титульном листе, так как числители всех дробей оказались одинаковы.)
Заметим, что целевая функция является суммой двух слагаемых, каждое из которых зависит только от одной переменной, и поэтому мы можем максимизировать их по отдельности. Каждое из них является функцией, графиком которой является парабола с ветвями вниз, отсюда находим .
Значит, , а полная оптимальная вместимость стадиона равна 65.
б) Теперь фирма в каждом из случаев выбирает цену p и объем продаж q, воспринимая общую вместимость x как заданную. Вместимость x является переменной, которая потенциально влияет на выручку как в случае низкого, так и в случае высокого спроса, и связывает эти две ситуации.
Если спрос предъявляют только фанаты, задача максимизации выручки останется прежней, ее решением является при и в противном случае.
Если спрос предъявляют обе группы, фирма будет максимизировать выручку на суммарной функции спроса, имеющей вид
Легко проверить, что оптимальным объемом (при ограничении на вместимость) будет являться при и 80 в противном случае.
Тогда при оптимальном выборе объемов
Обозначим эту функцию за f(x). Тогда ожидаемая приведенная стоимость равна Выпишем эту функцию:
На каждом из участков, кроме последнего, графиком этой функции является парабола с ветвями вниз. При этом вершина параболы, соответствующей первому участку — — лежит справа от этого участка, поэтому функция монотонно возрастает на нем. Вершина параболы, соответствующей второму участку — лежит на его конце, и поэтому функция монотонно возрастает на втором участке. Вершина параболы, соответствующей третьему участку — , принадлежит этому участку, а на последнем участке функция монотонно убывает. Поэтому оптимальная вместимость — .
Таким образом, если спрос предъявляют только фанаты, фирма продаст 30 абонементов по цене 60-30=30, а если спрос предъявляют обе группы — 60 абонементов по цене 80−60/2=50.