Мир инвестиций. Олимпиада Колокольникова 2 тур 2025 (7-8 класс)
Студент Иннокентий решил начать инвестировать свои деньги. Его первоначальный капитал составляет тыс. рублей. На бирже ему предложили два варианта: акция с ожидаемой доходностью и волатильностью стоимостью 1 тыс. рублей и акция с ожидаемой доходностью и волатильностью стоимостью тыс. рублей. Можно покупать любое количество акций каждого вида (даже нецелое), но нельзя потратить больше своего бюджета.
Примечание: Волатильность показывает как сильно может измениться доходность. Обычно волатильность обозначается буквой (сигма). Инвесторы не любят волатильные акции и при прочих равных выбирают с меньшей волатильностью. Если положить долю всех денег в актив с волатильностью и долю в актив с волатильностью то волатильность такого портфеля будет равна . Аналогично для большего числа активов.
а) ( балла) Как Иннокентию следует распорядиться своими деньгами, если он только максимизирует ожидаемую доходность? А если только минимизирует волатильность?
Если Иннокентий максимизирует только ожидаемую доходность, то ему следует выбрать акцию, у которой этот показатель будет наибольшим. Тогда он выберет акцию , так как ее ожидаемая доходность на п.п. больше, чем у акции ( против ) Если Иннокентий минимизирует только волатильность, то ему следует выбрать акцию, у которой этот показатель будет наименьшим. Тогда он выберет акцию , так как ее волатильность на п.п. меньше, чем у акции ( против )
Ответ: Если Иннокентий максимизирует только ожидаемую доходность, то ему следует выбрать акцию . Если Иннокентий минимизирует только волатильность, то ему следует выбрать акцию .
б) ( балла) Иннокентий в университете прочитал учебник по финансам и увидел там замечательный финансовый показатель Sharpe Ratio:
В стране, где живет Иннокентий, процентная ставка безрискового актива известна и равна . У какой акции Sharpe Ratio больше? Объясните, почему максимизация Sharpe Ratio согласуется с предпочтениями инвестора.
Рассчитаем показатель Sharpe Ratio для каждой акции.
Следовательно, Sharpe Ratio больше у акции . Максимизация Sharpe Ratio своего портфеля может быть выгодной стратегией, так как по сути этот показатель учитывает дополнительную доходность за вложение в рисковый актив (ожидаемая доходность - процентная ставка безрискового актива), деленную на риск (волатильность). Нетрудно заметить, что если ожидаемая доходность меньше процентной ставки безрискового актива, то в этот актив не стоит вкладываться при любой волатильности, а выгоднее вложиться в безрисковый актив. Также повышение волатильности делает актив менее привлекательным.
в) ( балла) В какой пропорции Иннокентий будет покупать акции, чтобы максимизировать Sharpe Ratio своего портфеля (набора бумаг)?
Например, если он купит бумаги, потратив поровну денег на каждую, то его
Пусть долю от своих сбережений Иннокентий тратит на акции и долю на акции . Тогда Sharpe Ratio его портфеля можно выразить через .
Заметим, что при от до функция возрастает по . Значит, максимальный Sharpe Ratio портфеля будет, если вложить все деньги в акцию .
Ответ: Максимальный Sharpe Ratio портфеля будет, если вложить все деньги в акцию .
г) ( балла) На бирже появляется третья акция с ожидаемой доходностью и волатильностью стоимостью рублей. Как в этом случае следует распорядиться финансами, если Иннокентий по-прежнему максимизирует Sharpe Ratio портфеля?
Пусть долю от своих сбережений Иннокентий тратит на акции , долю на акции и долю на акции . Тогда Sharpe Ratio его портфеля можно выразить через и .
Следовательно, чтобы Sharpe Ratio портфеля был максимальным, и должны быть равны . То есть все деньги необходимо вложить в акцию .
Ответ: Максимальный Sharpe Ratio портфеля будет, если вложить все деньги в акцию .
д) ( балла) Как изменились бы ответы на пункты в) и г), если бы Иннокентий обладал не тыс. рублей, а млн. рублей? А если млн. рублей?
Неважно, сколько денег у Иннокентия, ведь его доход никак не учитывается при подсчете Sharpe Ratio. Максимизируется относительная "доходность" портфеля, а не абсолютная.