Предельно склоните потребление
Потребитель живет три периода, а именно: . Его полезность от потребления в каждом из периодов выражается функцией , где – потребление в периоде .
В нулевом периоде ему приходит чек от Дональда Трампа в размере , а, так как из-за пандемии он потерял работу, то это его единственный источник дохода за эти три периода.
Иными словами бюджетное ограничение в первом периоде имеет вид:
, а во втором: , где – ставка процента, – богатство в первом периоде, а – богатство во втором периоде.
Потребитель очень терпелив, и поэтому ценит текущий период так же, как и будущий.
Для простоты считайте, что .
а) ( баллов) Найдите (предельную склонность к потреблению) потребителя в периоде .
Запишем задачу потребителя:
Найдём предельную полезность потребления в каждом из периодов:
Из бюджетного ограничения видно, что цена потребления в каждом периоде постоянная и равна единице, поэтому можем записать правило равенства отношений предельных полезностей к ценам следующим образом:
.
Тогда несложно найти предельную норму потребления в нулевом периоде. Она равна отношению потребления к доходу, т.е.
б) ( баллов) Пусть теперь потребление в первом периоде экзогенно, задано как , где – ошибка в выборе потребления в первом периоде. Найдите новое значение в периоде , как функцию от .
Из бюджетного ограничения:
Подставляем всё в полезность:
Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз относительно , значит максимум – в вершине.
Теперь можем найти предельную склонность к потреблению:
в) ( баллов) Докажите, что увеличивается при любом отклонении от нуля.
Найдём производную по :
Производная равна при . Теперь определим минимум это или максимум:
Вторая производная больше , значит – точка минимума для функции , что по определению означает, что при любом отклонении от данной точки функция будет увеличиваться.