Организаторы организуют
Кирилл и Гоша занимаются экспериментами и выдают мерч в каморке. За часа Кирилл может сделать экспериментов или выдать единиц мерча (а также любую их линейную комбинацию). Гоша, соответственно, экспериментов или единиц мерча. Оба этих занятия эффективно распределены между ребятами. Мерч и эксперименты делаются специально для Мишы, функция полезности которого задаётся уравнением: , где – количество единиц мерча, а – количество экспериментов.
a) ( баллов) Найдите, сколько единиц мерча и экспериментов будет потреблять Миша и проиллюстрируйте ваше решение на графике (начертите карту кривых безразличия и покажите выбор оптимальной точки).
Начнём с того, что в условии указана производительность Кирилла и Гоши за часа работы. Этот факт необязательно использовать при решении, однако, если участники делили объёмы производства на и решали всю задачу с этими числами, баллы не снижались. Здесь же приведём решение для объёмов производства за часа.
Альтернативная стоимость производства экспериментов для Кирилла: , альтернативная стоимость производства экспериментов для Гоши: . Суммарно Кирилл и Гоша могут произвести экспериментов или единиц мерча. Построим кривую производственных возможностей Гоши и Кирилла, руководствуясь тем, что альтернативная стоимость производства растёт с ростом объёмов производства.
Функция полезности Миши . Такая функция полезности соответствует комплементарным товарам, кривые безразличия имеют вид "уголков", вершины которых располагаются на прямой . Оптимальной точкой будет являться точка, в которой пересекаются КПВ Гоши и Кирилла и кривая безразличия Миши. Искомой кривой безразличия в данном случае будет являться та, которая имеет ровно одну точку пересечения с КПВ. Изобразим карту кривых безразличия, КПВ и оптимальную точку на одном графике:
Видно, что оптимальная точка находится на втором (слева-направо) участке КПВ. Уравнение этого участка: .
Приравняем уравнение второго участка КПВ и прямой : .
Таким образом, в оптимуме будет потребляться по единиц мерча и экспериментов.
Здесь стоит рассмотреть два случая.
a) Первый случай: оптимум находится на первом (слева-направо) участке КПВ.
Уравнение первого участка КПВ: , .
Подставим это в полезность Антона и промаксимизируем её.
Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
b) Второй случай: оптимум находится на втором (слева-направо) участке КПВ.
Уравнение второго участка КПВ: .
Подставим это в полезность Антона и промаксимизируем её.
Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
Видно, что вершина параболы не принадлежит промежутку, значит выбираем граничную точку промежутку, ближайшую к координате вершине, это , тогда найдём полезность:
Во втором случае полезность, очевидно, меньше, чем в первом, значит оптимальные объёмы потребления мерча и экспериментов найдены в первом случае.
Запишем бюджетное ограничение Антона в общем виде: , где , – цены мерча и экспериментов соответственное, а – доход Антона. С учётом данных из условия можем переписать бюджетное ограничение Антона в следующем виде: или x. Заметим, что если , мы может немного увеличить и уменьшить , при этом увеличив полезность, поэтому неравенство можно заменить на равенство. Тогда подставим бюджетное ограничение в полезность Антона и промаксимизируем:
Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
Заметим, что если , то товар становится слишком дорогим, и Антон перестаёт его покупать, т.е. .
С другой стороны, если расходы на товар в оптимуме превышают доход Антона, то он будет потреблять ровно
Таким образом, спрос на мерч состоит из трёх участков:
б) ( баллов) Пусть про удивительные товары (эксперименты и мерч) узнал Антон и стал потреблять эти товары вместо Мишы. Его функция полезности задаётся уравнением: . Сколько мерча и экспериментов потребит Антон?
Здесь стоит рассмотреть два случая.
a) Первый случай: оптимум находится на первом (слева-направо) участке КПВ.
Уравнение первого участка КПВ: , .
Подставим это в полезность Антона и промаксимизируем её.
Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
b) Второй случай: оптимум находится на втором (слева-направо) участке КПВ.
Уравнение второго участка КПВ: .
Подставим это в полезность Антона и промаксимизируем её.
Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
Видно, что вершина параболы не принадлежит промежутку, значит выбираем граничную точку промежутку, ближайшую к координате вершине, это , тогда найдём полезность:
Во втором случае полезность, очевидно, меньше, чем в первом, значит оптимальные объёмы потребления мерча и экспериментов найдены в первом случае.
в) ( баллов) Выведите функцию спроса Антона на мерч (в зависимости от цены на мерч), если цена эксперимента равна тыс. руб.
Запишем бюджетное ограничение Антона в общем виде: , где , – цены мерча и экспериментов соответственное, а – доход Антона. С учётом данных из условия можем переписать бюджетное ограничение Антона в следующем виде: или x. Заметим, что если , мы может немного увеличить и уменьшить , при этом увеличив полезность, поэтому неравенство можно заменить на равенство. Тогда подставим бюджетное ограничение в полезность Антона и промаксимизируем:
Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
Заметим, что если , то товар становится слишком дорогим, и Антон перестаёт его покупать, т.е. .
С другой стороны, если расходы на товар в оптимуме превышают доход Антона, то он будет потреблять ровно
Таким образом, спрос на мерч состоит из трёх участков: