Десять проектов
У Юного Инвестора на счету есть ден. ед., которые он может вложить в инвестиционные проекты. Он рассматривает проектов, каждый из которых требует инвестиций сегодня и принесет определенную сумму денег через год. В каждый проект можно инвестировать максимум один раз. Информация о проектах приведена в таблице:
Процентная ставка по депозиту на счету Юного Инвестора составляет годовых. В случае нехватки денег на инвестиции он может взять кредит на любую сумму по ставке годовых. Риски каждого из проектов и депозита сравнимы.
Юный Инвестор хотел был максимизировать сумму денег, которая образуется на его счету через год после всех совершенных операций, включая получение или уплату процентов. В какие проекты ему следует инвестировать деньги?
Рассчитаем норму доходности каждого из проектов. Для этого разделим общий доход на сумму инвестиций и вычтем единицу:
Поскольку доходность проектов выше ставки по кредиту , в них точно нужно вкладываться в любом случае (добавление такого проекта к портфелю увеличит итоговую сумму денег независимо того, используются собственные или заемные средства).
Поскольку доходность проектов ниже ставки по депозиту , в них точно нужно не вкладываться ни в каком случае (добавление такого проекта к портфелю уменьшит итоговую сумму денег независимо от того, используются собственные или заемные средства).
Эквивалентным рассуждением здесь является рассуждение через . Для проектов положительно, даже если ставкой дисконтирования является ставка процента по кредиту, поэтому эти проекты нужно осуществлять в любом случае. Для проектов отрицательно, даже если ставкой дисконтирования является ставка процента по депозиту, поэтому эти проекты точно не нужно осуществлять.
Осталось принять решение по проектам . Здесь выбор более тонкий, потому что их доходность больше ставки по депозиту, но меньше ставки по кредиту.
В принципе, остается вариантов, потому что в каждый из этих проектов можно как инвестировать, так и нет. Но перебор можно сократить, заметив следующее.
После инвестиций в проекты на счету Юного Инвестора окажутся
ден. ед.
Поскольку требуемые инвестиции для каждого из проектов не меньше , после инвестиций в хотя бы один из этих проектов собственных средств не останется, и для дальнейших инвестиций придется брать кредит. Поскольку доходность каждого из этих проектов меньше ставки по кредиту, инвестировать далее в еще какие-то из этих проектов не следует. Значит, из этих трех проектов оптимально инвестировать максимум в какой-то один.
Остается варианта: инвестируем в проект , в проект , в проект ; ни в один из этих проектов. Для каждого из вариантов рассчитаем итоговую сумму денег на счету.
Обозначим за суммарный доход от проектов . (Его можно не считать, но для справки отметим, что он равен .) Итоговая сумма денег для вариантов :
Вариант .
Вариант .
Вариант .
Вариант .
Значит, наилучшим является вариант - инвестировать в проект .
Ответ: Следует инвестировать в проекты .
(Максимальная итоговая сумма на счету равна .)
Примечание: Заметим, что простой алгоритм, при котором мы упорядочиваем проекты по убыванию доходности, а затем инвестируем в них в этом порядке, пока итоговая сумма на счету растет, здесь не приводит к оптимуму. Действительно, найденный нами оптимум не достижим с помощью такого алгоритма, потому что в оптимуме мы инвестируем в проект с доходностью , но не инвестируем в проект с доходностью . Это может показаться парадоксальным, но никакого противоречия здесь нет: для принятия решений по проектам с промежуточной доходностью (между ставкой по депозиту и по кредиту) важна не только доходность, но и абсолютная сумма инвестиций. Если эта сумма высока (как для проекта ), то проект может потребовать большого объема кредитных средств, и в этом случае средневзвешенная ставка привлечения средств для него будет ближе к кредитной, чем депозитной, превосходя доходность проекта.