Задача 3. ШЭ ВСоШ Татарстан 2026 (9-11класс)
Рассмотрим фирму на совершенно конкурентном рынке. Цена товара задана извне, так как фирма — ценополучатель. Издержки фирмы зависят от выпуска и равны. Прибыль фирмы равна выручке за вычетом издержек. Фирма максимизирует свою прибыль.
( балла) При цене найдите объём выпуска , максимизирующий прибыль, и значение прибыли .
При фиксированной цене прибыль как функция от выпуска является квадратичной функцией (параболой), ветви направлены вниз (коэффициент при равен ). Максимум такой параболы достигается в её вершине.
Вершина параболы. Для функции вершина имеет абсциссу .
Здесь , поэтому .
Если (то есть ), допустимая область отсекает вершину, и максимум достигается на границе . Если (то есть ), максимум достигается в вершине.
Значение прибыли в вершине удобно получить через «квадрат по формуле вершины»:
.
Отсюда при , а при максимум равен на .
Оптимум на границе: .
( балла) При цене найдите и .
( балла) Найдите функцию предложения фирмы , то есть оптимальное в зависимости от цены .
Функция предложения. Оптимальный выпуск как функция цены — это абсцисса вершины, обрезанная снизу нулём: