Задача 1. МЭ ПОШ – 2019 (10-11 класс)
Саша готовится к муниципальному этапу по экономике и у него имеется единица времени. Если он потратит времени на задачи по микроэкономике и времени на задачи по макроэкономике, то, выложившись на все на олимпиаде, максимальное количество задач, которое он сможет решить по этим двум дисциплинам - это и соответственно, а так же, он будет уметь решать любую линейную комбинацию этих количеств. Постройте КПВ Саши на олимпиаде в координатах задач по макро- и микроэкономике.
В первую очередь необходимо формализовать условие о полном использовании временных ресурсов "выложившись на все 100% на олимпиаде". Оно означает, что ( балл), ведь иначе можно увеличить количество задач одного типа не уменьшая количество других задач (точка не на КПВ). После следует записать уравнение КПВ: ( балла), где — количество задач по микроэкономике, а — количество задач по макроэкономике. КПВ имеет именно такой вид, так как в условии сказано, что при фиксированных временных затратах на каждый вид задач, Саше доступна линейная комбинация этих затрат (линейная комбинация и ). Теперь запишем задачу максимизации:
( балл).
Максимизация при помощи производной:
или любым другим способом ( балл).
за запись итогового КПВ ( балл).
Следует заметить, что для решения данной задачи не требовалось знание производной. Достаточно было использовать неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (доказательство этого неравенства приводить необязательно):
А равенство достигается если и только если . Воспользовавшись этим неравенством, можно сказать, что , а тогда можно записать:
( балла).
При максимизации данным способом также необходимо было указать, что равенство между левой и правой частью достигается при
( балл).