Борьба с пробками
Люди численностью человек живут в пригороде и ездят работать в город . На работу можно ездить на метро или на автомобиле. Поездка на метро всегда занимает минут, а продолжительность поездки на автомобиле зависит от загруженности дороги и занимает минут, где — общее количество людей, которые едут на работу на автомобиле. Решая, как ехать на работу, люди принимают во внимание только время в пути, в равновесии никто из них не может доехать на работу быстрее, выбрав другой вид транспорта.
Мэр города озабочен проблемой пробок и хочет их уменьшить. Советники предлагают ему несколько мер, перечисленных ниже. От вас требуется прокомментировать каждую меру с точки зрения ее последствий для пробок: нужно ответить, чему в результате ее введения будет равно общее время, которое жители пригорода проводят в автомобилях в пути на работу (от этого зависят вредные выбросы в атмосферу, необходимость содержать дорожную полицию и т. д.). Каждую меру нужно комментировать в отдельности: например, если вводится мера из пункта в), то все остальные не вводятся.
а) ( баллов) В этом пункте найдите равновесие для ситуации, описанной в задаче, то есть если никакие меры сокращения пробок не применяются. Ответьте на вопросы, заданные в условии.
б) ( баллов) Если построить новую развязку, время поездки на работу на машине составит минут.
в) ( баллов) Если закупить дополнительные поезда для метро, время поездки на нем сократится до минут.
г) ( баллов) Ограничение парковки в городе увеличит время в пути каждого автомобилиста на минут — их нужно будет потратить на поиск парковочного места.
д) ( баллов) Запрет на автомобили с двигателями внутреннего сгорания позволит ездить в город на машине только владельцам электромобилей (остальные человек будут вынуждены ехать на метро).
а) Чтобы человек, который едет на машине, не захотел сменить вид транспорта, время в пути на машине не должно быть больше, чем время на метро:
.
С другой стороны, для пассажира метро время в случае перехода на автомобиль (тогда автомобилистов станет ) также не должно уменьшиться:
.
Первое неравенство верно при , второе — при . Значит, на автомобилях поедут человек. Время в пути на автомобиле составит минут. Всего же люди проведут в автомобилях минуту.
б) Рассуждая аналогично предыдущему пункту, получим систему неравенств:
Значит, на автомобилях поедет человек, каждый из них потратит на дорогу минут (столько же, сколько до постройки развязки), а общее время в пути на автомобилях составит минут — больше, чем до постройки развязки! Дело в том, что увеличение пропускной способности дороги стимулировало больше людей по ней поехать, из-за чего время в пути осталось примерно равно времени в пути на метро (которое не изменилось).
в) Рассуждая аналогично предыдущему пункту, получим систему неравенств:
Получается, что количество людей в пробке уменьшилось до человек, путешествие каждого из них занимает минут, а общее время в пути на автомобилях составит минут. Ускорение метро действительно помогает снизить пробки.
г) Рассуждая аналогично предыдущему пункту, получим систему неравенств:
Количество автомобилистов совпадает с предыдущим пунктом и равно — по этому показателю усложнение парковки эквивалентно ускорению метро.
Путешествие каждого автомобилиста занимает минут, а общее время в пути на автомобилях составит минут. Затруднение парковки помогает снизить пробки — несмотря на то, что автомобилисты вынуждены проводить дополнительное время в машинах, ища парковочные места.
д) Даже если все владельцев электромобилей поедут на них на работу, их время в пути составит минуту — меньше, чем на метро. Значит, все они выберут этот вариант, а остальные человек поедут на метро (у них нет возможности ехать на машине). Общее время в пути на автомобилях составит минут. Запрет многим жителям пригорода передвигаться на автомобилях, конечно, сокращает пробки.
Альтернативное решение.
Ответы пунктов а)-г) можно было получить другим способом.
В при условии, что каждым видом транспорта хотя бы кто-то пользуется, время в пути обоими способами должно быть примерно одинаковым. Если оно будет существенно отличаться, люди перейдут на более быстрый вид. (В пункте д) эта логика не работает, так как выбор между видами транспорта есть не у всех.) Посмотрим, что будет, если приравнять время в пути в каждом из пунктов.
Ответы получились дробными. Что будет, если мы округлим их в большую сторону, то есть отправим «колеблющегося» человека на автомобиле? Тогда в каждом из случаев время в пути на автомобиле увеличится, а время в пути на метро останется прежним, то есть типичному автомобилисту станет выгодно пересесть на метро. С другой стороны, если мы округлим вниз (то есть отправим «колеблющегося» человека на метро), то время на автомобиле станет чуть больше времени на метро, но переключение невыгодно, поскольку развернет неравенство. Это в каждом случае и будет равновесием.