Выгода от сотрудничества
В странах Линия и Квадратия могут производиться товары X и Y. КПВ страны Линия имеет вид . КПВ страны Квадратия имеет вид . В обеих странах товары потребляют только в комплектах. Один комплект состоит из одной единицы товара X и пяти единиц товара Y.
a) (5 баллов) Допустим, страны никак не взаимодействуют друг с другом. Найдите максимальное возможное суммарное потребление комплектов в двух странах.
б) (15 баллов) Теперь допустим, что страны могут сотрудничать, то есть договориться о совместной стратегии производства. Найдите максимальное возможное суммарное потребление комплектов в двух странах. На сколько комплектов оно больше, чем в пункте а)? Подсказка: пункт б) можно решить как с помощью нахождения суммарной КПВ, так и без него.
а) Исходя из соотношения товаров в комплектах, имеем и . Подставим в уравнения КПВ и преобразуем:
Из первого уравнения получаем , в Линии потребляется 40 комплектов.
Рис 3.1. Рисунок с графиками КПВ стран Линия и Квадратия.
Из второго уравнения.
Нас интересует положительный корень . Это и есть количество комплектов, потребляемых в Квадратии.
Общее количество комплектов в двух странах равно . Графики КПВ (Рис. 3.1) для полного решения необязательны.
Ответ: 68 комплектов.
б) Способ 1 (не требует сложения КПВ).
Составим систему ограничений, которая будет учитывать и КПВ обеих стран, и необходимость производить комплекты, и преобразуем её так, чтобы выразить через :
Количество комплектов, произведённое в странах, равно количеству произведённого товара X, то есть . Его и нужно максимизировать при указанных выше ограничениях. Запишем выражение для этого количества:
Это парабола с ветвями вниз, её максимум достигается при .
Отсюда получаем:
Оба объема производства X меньше максимально возможных в своих странах, поэтому найденные точки действительно лежат на страновых КПВ.
Общее количество комплектов равно общему количеству товара X и составляет 70 + 7 = 77. Это на 9 комплектов больше, чем в пункте а).
Способ 2. Построим суммарную КПВ.
Альтернативная стоимость товара X в Линее всегда равна 2, а в Квадратии является переменной величиной, равной модулю производной по : . При значениях альтернативная стоимость в Квадратии меньше, товар X нужно производить там. При больших производство каждой единицы X в Квадратии становится дороже, чем в Линее, поэтому нужно переключиться на производство X в Линее, а вернуться в Квадратию тогда, когда производственные возможности в Линее будут исчерпаны.
Таким образом, уравнение общей КПВ имеет вид:
В каждом уравнении выражение в круглых скобках — количество единиц товара Y, произведённое в Линее, а в квадратных скобках — в Квадратии. Выражения записаны так, чтобы было видно, какое значение X подставляется в уравнение КПВ каждой страны.
Рис. 3.2. Суммарная КПВ двух стран(жирная линия)
Подставим условие на соотношение товаров в комплекте в каждый участок, при этом упростим правые части:
Поскольку КПВ — убывающая функция, а — возрастающая, у них может быть не более одного пересечения. Решим самое простое уравнение — второе, получим , что попадает в интервал (7; 147). Можно (но не обязательно) убедиться, что решение первого уравнения на соответствующий участок не попадает, а третье уравнение и вовсе не имеет корней (это видно на Рис. 3.2, где "недостающие" части парабол нарисованы светлыми линиями). Значит, и есть оптимальное производство товара X и оптимальное количество комплектов. Общее количество увеличится по сравнению с пунктом а) на 9.
Сложить КПВ можно и другим (более длинным) способом, не прибегая к сравнению альтернативных издержек. По определению, уравнение суммарной КПВ показывает максимальный суммарный уровень производства товара Y при данном суммарном производстве товара X. Значит, можно получить, решив оптимизационную задачу:
Подставляя выражения для и , получаем задачу:
Затем, выражая, например, через и , получаем задачу:
Ее решение будет достигаться либо в вершине параболы , либо на одной из границ в зависимости от , а именно:
Подставляя в целевую функцию, находим уравнение КПВ , состоящее из трех участков.
Ответ: комплектов, на больше, чем в пункте а).